diario de César el mundo matemático de 1 bach: febrero 2016

domingo, 28 de febrero de 2016

EXAMEN PARA CASA ACTS 1-2

Aquí os voy a poner las primeras 4 actividades del examen para casa enviado por nuestro profesor:

ACTIVIDAD 1

El afijo es el punto (-2,2)

1.- Pasarlo a forma polar:

$m=\sqrt{(-2)^2+2^4}=2,82$

$arg:tg\alpha =\frac{b}{a}=\frac{2}{-2}; \alpha =-45^o\rightarrow -45^o+180^o=135^o$

$2,82_1_3_5=2,82_1_3_5_-_2_2_5=2,82_-_9_0$

2.- Una vez hecho así lo volvemos a pasar a forma compleja:

$z=m_\alpha =m\cdot (cos\alpha +i sen \alpha ); \begin{matrix}a=m\cdot cos\alpha \\ b=m\cdot sen\alpha \cdot i \end{matrix}$

$a=2,82\cdot cos-90^o=0$

$b=2,82\cdot sen-90^o\cdot i=-2,82i$

3.- Solución:

$z=-2,82i$

ACTIVIDAD 2

1.- Resolver: $\sqrt[3]{\frac{i^2^7}{-2\sqrt{3}+2i}}=\sqrt[3]{\frac{-i}{-2\sqrt{3}+2i}}=\sqrt[3]{\frac{-i\cdot (2\sqrt{3}-2i)}{(-2\sqrt{3}+2i)(2\sqrt{3}-2i)}}=\sqrt[3]{\frac{-2\sqrt{3}i+2i^2}{12-4}}=\sqrt[3]{\frac{-2\sqrt{3}i-2}{8}}=\sqrt[3]{\frac{-1\sqrt{3}i}{4}-\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{0,5_7_1,_5_6}$

2.- Continuación de 1:

$\sqrt[3]{0,5_7_1,_5_6}=\begin{matrix}k=0\rightarrow \sqrt[3]{0,5} _\frac{71,56}{3}=0,79_2_3,_8_5 \\ k=1\rightarrow \sqrt[3]{0,5} _\frac{71,56+360}{3}=0,79_1_43,_8_5 \\ k=2\rightarrow \sqrt[3]{0,5} _\frac{71,56+(360\cdot 2)}{3}=0,79_2_63,_8_5 \end{matrix}$

3.- la solución sería:

$(z-0,79_2_3,_8_5)(z-0,79_1_43,_8_5)(z-0,79_2_63,_8_5 )$

Tengo las 2 siguientes también hechas pero no tengo más tiempo, mañana lo subiré.

Si tenéis alguna duda dejádmela en los comentarios.

CLASE 26 FEBRERO

Hoy en clase hemos continuado con el tema de sucesiones y hemos dado el concepto que según mi profesor es el más importante en las sucesiones LOS LÍMITES.
Hablamos de un límite cuando una sucesión "tiende" a un determinado número por ejemplo: la sucesión $a_n=\frac{1}{n}$ "tiende" a 0 o se "acerca" a 0
Nomenclaturas/anotación:
$\begin{Bmatrix} a_n\rightarrow a_(_a_\in _\mathbb{R}_) \end{Bmatrix}$
an --> convergente (los términos se acercan a un número al que le vamos a llamar límite de una sucesión
Otra anotación: $lim_a_n=a$
acercarse a significa que un término esta dentro de un intervalo al que vamos a llamar entorno de 0--> CONCEPTO FUNDAMENTAL
El entorno de 0 es un intervalo simétrico: $(0-\epsilon, 0+\epsilon )$ donde epsilon (cuanto más mejor) es un numero cualquiera perteneciente a R+ al que llamamos radio del entorno.
Con esto sacamos la definición de límite: "algunos de los términos de la sucesión tienen que estar dentro de un entorno cualquiera a partir de un número dado" y matemáticamente se escribiría así:
$lim_a_n=a:\forall \epsilon >0\exists n_0 \in \mathbb{N}a_n \in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\forall n>n_0$ como habíamos visto en clase podemos simplificar la expresión $a_n \in (a-\epsilon ,a+\epsilon )$ y la sustituimos por $-\epsilon <a_n-a<\epsilon$ y quedaría: $lim_a_n=a:\forall \epsilon >0\exists n_0 \in \mathbb{N}-\epsilon <a_n-a<\epsilon \forall n>n$

viernes, 26 de febrero de 2016

CLASE 25 FEBRERO

Hoy en clase hemos continuado con el tema de las sucesiones, en concreto con el ejercicio 4 que yo no había terminado anteriormente.
Hemos continuado con el ejercicio 4 de la página 222:

Escribe en cada caso una sucesión:

Como yo ya he hecho las a anteriores, os pongo solo las que voy a hacer ahora:

c) acotada superiormente y creciente

d) monótona decreciente.

e) monótona decreciente y no acotada.

Una sucesión es monótona cuando es creciente, decreciente, estrictamente decreciente o estrictamente creciente.
La sucesión del c) ya la había hecho pero quiero matizar varias cosas, y hacerla estrictamente creciente en vez de creciente solo.
$a_n=\begin{Bmatrix} \frac{-1}{n} \end{Bmatrix}$ porque esta acotada superiormente por el 0 que es un supremo pero no un máximo.
Ahora vamos a hacer la demostración de que la sucesión $a_n=\frac{n^2+1}{n^2}$ es estrictamente creciente:
Para que una sucesión sea estrictamente creciente tenemos que saber que $a_n_+_1<a_n$ y sustituimos:
$\frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^2}<^?\frac{n^2+1}{n^2}\Rightarrow ((n+1)^2)\cdot n<^?(n^2+1)(n+1)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n<^?n^4+2n^3+2n^2+2n+1\Rightarrow 0<^?2n+1$

Si, si sería estrictamente creciente.
d) monótona decreciente: $a_n=\frac{1}{n}$
$\begin{matrix}a_1=\frac{1}{1}\\ \\a_2 =\frac{1}{2}\\ \\ a_3=\frac{1}{3}\\ \\ a_4=\frac{1}{4}\\ \\ a_5=\frac{1}{5} \end{matrix}$
Podemos observar que la sucesión nunca va a dejar de decrecer.
e) monótona decreciente y no acotada: $a_n=n$
$\begin{matrix}a_1=1 \\a_2 =2 \\ a_3=3 \\ a_4=4 \\ a_5=5 \end{matrix}$
Podemos observar que no está acotada ya que es creciente.

Tambien hemos visto las operaciones con sucesiones.
SUMA: { $a_n$ }+{ $b_n$ }={ $a_n+b_n$ }
RESTA:{ $a_n$ }+{- $b_n$ }= { $a_n-b_n$ }
MULTIPLICACIÓN: { $a_n$ }·{ $b_n$ }={ $a_n\cdot b_n$ }
DIVISIÓN: { $a_n$ }:{ $b_n$ }={ $a_n\cdot \frac{1}{b_n}$ }

martes, 23 de febrero de 2016

CLASE 23 FEBRERO

Hoy en clase siguiendo con esta nueva dinámica de clase y este tema de sucesiones hemos hecho el ejercicio 4 de la página 222:

Escribe en cada caso una sucesión

a) acotada superiormente por 2

b) acotada inferiormente por -1

c) acotada superiormente y creciente

d) acotada y no monótona

e) monótona decreciente

f) monótona decreciente y no acotada

Para hacerlo necesitamos saber que es acotación superior e inferior y creciente y decreciente.

Antes de estas definiciones nuestro profesor nos ha estado comentando la diferencia que hay entre sucesos e intervalos ya que ambos se pueden representar en un recta. La principal diferencia es que en una sucesión los puntos se encuentran "aislados" ya que entre dos puntos continuos no hay términos de esa sucesión en cambio en los intervalos si que hay valores pertenecientes a ese intervalo entre dos puntos.

- Acotación superior: una sucesión esta acotada superiormente cuando esa sucesión no pasa de un término $\exists k\in\mathbb{R}/a\leq k$ donde a esta k la llamaremos cota superior.

Cuando tengamos la menor cota superior la vamos a llamar supremo y si esta cota pertenece a este conjunto la vamos a llamar máximo.

Un ejemplo de subconjunto acotado superiormente es el intervalo $(-\infty,3 )$ ya que este 3 es una cota superior a la que llamaremos supremo y máximo

- Acotación inferior: una sucesión esta acotada inferiormente cuando el comienzo de esa sucesión no llega a ser o es ese término k $\exists k\in\mathbb{R}/a\geq k$ a esta k la llamaremos cota inferior.

Cuando la cota que tengamos sea la mayor cota inferior la vamos a llamar ínfimo y si esta cota pertenece al conjunto la vamos a llamar mínimo.

Un ejemplo de subconjunto acotado inferiormente es el intervalo $(3,\infty )$ ya que el 3 en este caso es la cota inferior a la que tambien vamos a llamar ínfimo y mínimo.

- creciente, decreciente, estrictamente creciente y estrictamente decreciente: dependiendo del orden de una sucesión podemos decir que es de uno de estos tipos o de otro:

$\begin{matrix} (a_n>a_n_-_1)\rightarrow estrictamente- creciente\\ (a_n\geq a_n_-_1)\rightarrow creciente\\ (a_n< a_n_-_1)\rightarrow estrictamente-decreciente\\ (a_n\leq a_n_-_1)\rightarrow decreciente \end{matrix}$

RESOLUCIÓN:

a) 2,0,-2,-4,-6,-8...

$a_n=a_n_-_1-2$ siendo $a_1=2$ por lo que el dos sería un supremo y además un ínfimo.

b) -1,0,1,2,3,4,5,6,7...

$a_n=a_n+1$ siendo $a_1=-1$ por lo que el -1 seria un ínfimo pero no un mínimo.

c) 1,1,1,1,1...

$a_n=1$ ya que al ser creciente puede ser mayor o IGUAL y el 1 actúa como cota superior.

El resto del ejercicio lo terminaremos en clase puesto que te piden monotonía y eso no lo hemos dado, mañana lo intentaré.

CLASE 22 FEBRERO

Hoy en clase hemos empezado un tema nuevo, el tema 9, trata de sucesiones, con este nuevo tema vamos a usar una nueva forma de estudio en clase, vamos haciendo ejercicios y en base a esos ejercicios vamos a ir aprendiendo nuevos conceptos.
En base al ejercicio 1 de la página 222.
Continúa las siguientes sucesiones de números:
a)1,2,4,1,2,4,1...
b)2,7,12,17...
c)4,8,16,32,64...
d)2,5/4,10/9,17/16,26/27...
e)1,3,5,8,13...
g)3,6,12,24,48...
Para la resolución de este ejercicio necesitamos saber que es una sucesión primero.
Una sucesión es una aplicación de N en R que representamos asi:
$\begin{matrix} \mathbb{N}\Rightarrow \mathbb{R}\\ n\rightarrow a(n)\rightarrow a_n \end{matrix}$
El término general de una sucesión es dar un valor a n para obtener uno de a(n).
En el caso del ejercicio b) podríamos decir que es una progresión aritmética. En toda sucesión tenemos una definición por recurrencia a partir de una progresión aritmética, en este caso, sería: $a_n_+_1=a_n+5$ (definición de cada término en función del anterior).
En el caso del c) lo que tenemos es una progresión geométrica donde en este caso el término general es $a_n=a_1\cdot r^n^-^1$ como observamos, en las progresiones geométricas lo que tenemos es una multiplicación.
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO + TERMINO GENERAL DE CADA UNA.
a) 1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4...
Como podemos observar no sigue un patrón fijo (suma resta multiplicación...) entonces su término general puede ser: an puede ser 1,2,4 dependiendo de si es múltiplo de 1,2,4
b) 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47...
Como ya hemos dicho antes el término general es $a_n_+_1=a_n+5$
c) 4,8,16,32,64,128,256...
El término general es $a_n=a_1\cdot r^n^-^1$ donde la r en este caso es 2
d)2,5/4,10/9,17/16,26/27, 37/36,50/49, 65/64...
El término general es $a_n=\frac{n^2+1}{n^2}$
e)1,3,5,8,13,21,34,55,89...
El término general sería $a_n=a_n+a_n_-_1$
g)3,6,12,24,48,96,192,384,768,1516...
El término general de esta sucesión es: $a_n=a_n_-_1\cdot 2$ .