jueves, 29 de octubre de 2015

CLASE 27 OCTUBRE + EJERCICIO

Después de descubrir la desaparición de mi anterior entrada, vuelvo ha HACER la entrada de la clase de ayer. Ayer en clase estuvimos hablando de las divisiones: las diferenciamos en 2 grupos:

En Z:   esto se lee: tenemos dos números pertenecientes a Z con una solución única (c,r) perteneciente a Z.
Donde r tiene que ser mayor o igual a 0 pero menor que d.
Algoritmo de la división entera: la famosa prueba de la división: D=d·c+r
Ej: 630:3= 210 y lo hemos sabido usando la vulgarmente llamada "cazueleta"



En Z[x]:     y es lo mismo que lo de arriba pero con polinomios.
Algoritmo división: D[x]= d[x]·c[x]+r[x].

Además después de esto nos propuso un ejercicio: Realiza operaciones con polinomios:
Partiendo de que p(x)= y que q(x)=
Suma p(x)+q(x)=
Resta p(x)-q(x)=
Multiplica p(x)·q(x)=
Divide p(x):q(x)= c: 2 r: -3x-1 os lo pongo directamente porque no he hallado la manera de hacerlo con ecuaciones latex.

Luego he pensado yo que si existían los polinomios elevados a un polinomio sería algo así:  y tras mirar en diferentes páginas no encontre nada es decir que no existe.

martes, 27 de octubre de 2015

CLASE 26 DE OCTUBRE (INTRO TEMA 2 POLINOMIOS)

Hoy en clase hemos estad hablando de los polinomios y la introducción del tema 2 para ello nuestro profesor nos ha hecho esta tabla:

 POLINOMIOS 
(x es una indeterminación)
 ECUACIÓN (SOLO POLINÓMICAS)
(x es una incógnita)
FUNCIONES (SOLO POLINÓMICAS)
(x es una variable) 

POLINOMIOS
Para saber que es un polinomio necesitamos saber que es una expresión algebraica, y es: un conjunto de :
  1. Números
  2. Operaciones (+, -,x...)
  3. Letras (que significan números)
Entonces un polinomio es esta expresión: p(x)=   
ordenación decreciente compuesto por monomios o términos.
an: coeficiente  :  x: es la indeterminación y n: es el grado
a0: grado 0 o termino independiente



Entonces an "nunca" (luego explico el porque de estas comillas) puede ser igual a 0, donde n es el mayor número en N tal que an no puede ser igual a 0.
n es el grado del polinomio y se le llama p(x).
Con todo esto deducimos que un polinomio es una expresión algebraica con esta forma:
p(x)=   

El valor numérico de un polinomio p(x) es un número real  que sustituimos en p.
Por ejemplo:   

ECUACIONES
Hablamos de raíz de un polinomio p(x) cuando un número le sustituimos en p(x) y la solución es 0
x? p(x)=0 es una ecuación polinómica. Donde x? es una solución o raíz de p(x).
FUNCIONES
Se le llama función polinómica a aquellas funciones cuya expresión analítica es el valor numérico de un polinomio.

Aqui viene la explicación de las comillas de antes: si en los polinomios hablamos de que la n de an no puede ser igual a 0 entonces si a0=0 el polinomio es el polinomio nulo o polinomio de grado 0
La ecuación con el polinomio nulo es 0x=0 donde x es el conjunto de todos los números.

domingo, 25 de octubre de 2015

DEBERES (RESUMEN/COMENTARIO) BIOGRAFÍAS. DIA 23 DE OCTUBRE

Hoy voy ha hacer una entrada diferente, de esas que gustan poco porque es mucho texto, pero es de deberes y hay que hacerlo. Os voy ha hablar de la "otra parte" de las matemáticas, de tres matemáticos muy importantes como Del ferro, Tartaglia y Cardano os voy a resumir un poco su biografía.

INTRODUCCIÓN:
Cercano al siglo XVI en Italia tres matemáticos intentaban hallar la manera o método para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, eran Del Ferro, Cardano y Tartaglia. Unos cuantos años antes unos matemáticos como Fibonacci o Luca Paccioli lo intentaron sin conseguir el resultado. Sería Del Ferro el primero en conseguir el método ortodoxo de hallar esta raíces.

Del Ferro: Scipioni Del Ferro, nació el 6 de Febrero de 1465 en Bolonia y murió el 5 de noviembre de 1526 también en Bolonia. No es conocido pero su rol en la historia esta ligado con la ecuación de tercer grado. No se han descubierto documentos de Del Ferro porque se caracterizaba porque todos sus descubrimientos se los trasmitía a su grupo pequeño de alumnos. Tenía un anotador que pasó a ser su yerno Hannibal Nave, este también se dedicó a las matemáticas y de hecho cuando Del Ferro muere en 1526 este le sustituye en la universidad. En 1546 Cardano y su alumno Ludovinco Ferrari viajan a Bolonia en busca de este anotador y este les muestra el manuscrito donde tiene anotado el método de resolución de las ecuaciones de tercer grado, el cual, se podía reducir a: x3+mx=n y x3=mx+n con m>0 y n>0.
Hay conjeturas de que si Del Ferro también se reunió con Paccioli cuando este fue a Bolonia entre 1501 y 1502, Paccioli le incluyó en el famoso tratado de Summa. Es en 1925 cuando se descubre que Del Ferro había hallado un método para resolver: 3x3+18x=60. Para Cardano, Del Ferro fue el primero en descubrir la solución y no Tartaglia.

Tartaglia: Niccolo Fontana, más conocido como Tartaglia nació en Brescia en 1499 y murió el 13 de diciembre de 1557, fue apodado Tartaglia por su tartamudez causada por el cuchillo de un soldado francés durante la masacre de 1512, hijo de una viuda aprendió a escribir junto con el griego, latín y matemáticas a los 14 años, disciplina con la cual pudo ganarse la vida.
Se conoce que la primera persona en descubrir estas raíces fue Del Ferro, el cual, en su lecho de muerte le confía a su aprendiz Antonio Maria Fiore el método. Este se jactaba de saber resolverlas y retó a Tartaglia. Fiore perdió y esto hizo que Tartaglia se hiciera famoso. El desafío consistía en que el uno le planteaba una serie de ecuaciones al otro y tenían un periodo de treinta días para presentar las respuestas, Fiore solo sabía resolver un tipo, Tartaglia demostró saber hacerlo y en tan solo 2 horas las resolvió haciéndose así famoso. Es en este momento donde entra Cardano, le miente a Tartaglia prometiendo le una recomendación del gobernador de Milán, Tartaglia ve así su manera de triunfar en Italia y a cambio Tartaglia le cuenta el método a Cardano.
Finalmente Cardano publica su libro Ars Magna en 1545 y Tartaglia enfurecido escribe en 1546 su libro Nuevos problemas e inventos, donde cuenta la trama de Cardano. Tartaglia quería debatir a no y no con Cardano pero este lo negó, no obstante Tartaglia mantenía correspondencia con Ferrari. La posición de Cardano era muy fuerte frente a la de Tartaglia. En 1548 recibe la oferta de volver a su ciudad natal como profesor pero antes tenia que debatirse con Ferrari, Tartaglia se pensaba que iba a ganar pero tuvo que abandonar porque vio que Ferrari tenía mejor conocimiento y vuelve a Venecia. En 1556 publica su obra Tratatto donde explica el triángulo aritmético y al desarrollo de su binomio.

Cardano: Jerónimo Cardano nace el día 24 de septiembre de 1501 en Pacia'40 y muere el 21 de septiembre de 1576 en Roma. Su padre era abogado pero su experiencia en las matemáticas hizo que Da Vinci le hiciera preguntas sobre asuntos de geometría. Cardano comenzó como ayudante de su padre y llegó a plantearse el hacer una carrera, su padre quería que hiciese derecho pero prefirió hacer medicina. Se graduó como médico en 1525 y malgastó su dinero en juegos que se convirtió en adicción y así perdió muchas cosas como su tiempo. Adquirió mala fama y por eso le negaron la entrada en el colegio de médicos de Milán en 1539 le acabaron aceptando. Mientras tanto en 1533 vuelve al juego para poder subsistir y pierde así mucho dinero y joyas de su mujer Lucía, buscando desesperadamente un cambio se va a Milán donde le va peor aún. En 1539 publica sus dos primeras obras y comienza su carrera como escritor de Filosofía, Astronomía, Medicina y Matemáticas. En este mismo año comienza su acercamiento a Tartaglia con el fin de que este le cuente el método, Tartaglia acepta con la condición de que Cardano no lo haga público hasta que no lo haga él. En 1545 publica su libro Ars Magna donde lo explica, lo hace porque en 1543 descubre que en realidad el descubridor del método es Del Ferro y no Tartaglia, en el libro también presenta el método para resolver también las de cuarto grado. En 1546 muere Lucía y Cardano se hace rector del colegio de médicos de Milán y con este trabajo consigue que jefes de estado le pidan que les atendiese como médico. Mientras gozaba de esta fama su hijo Giambatista es ejecutado por envenenar a su mujer y Cardano nunca se perdonó el no haber podido ayudar a su hijo. También tuvo problemas con su otro hijo Aldo, el cual estaba metido en el mundo del juego y llegó a roba a su padre el cual le denuncia y le destierran de Bolonia. En 1570 Cardano es encarcelado por herejía, (escribió un libro llamado el Horóscopo de Jesucristo) se le liberó tras retractarse pero no pudo volver a la universidad.
Hay una leyenda que dice que con la astronomía predijo el día de su muerte y que se sintió obligado a suicidarse.

Os dejo el enlace de donde lo he resumido:
http://historiaybiografias.com/disputas_matematicas/



martes, 20 de octubre de 2015

CLASE 20 DE OCTUBRE (ejercicio)

Hoy nuestra clase de matemáticas se ha basado sobre todo en este ejercicio:
1.- Realiza estas operaciones:
   a)
            
   b)
         
   c)
        
   d)
          


   SOLUCIONES:
    a) Para hacer esta podemos usar dos formas de hallar la solución: 1=racionalizando y                               2=resolviendo sin racionalizar: Ambas van a dar lo mismo
          1)
             
          2)
             
     b)Para hacer esta podemos usar dos formas de hallar la solución: 1=racionalizando y                               2=resolviendo sin racionalizar: Ambas van a dar lo mismo
          1)
                  
          2)
             
      c) Para hacer esta podemos usar dos formas de hallar la solución: 1=racionalizando y                               2=resolviendo sin racionalizar: Ambas van a dar lo mismo, este es un poco mas complicado, no           lo hemos hecho en clase por lo que lo que si lo tengo mal mañana lo corregiré.
          1)
            
          2) En este caso lo podemos intentar hacer resolviendo pero la suma de radicales (sin usar                     números decimales) es imposible hacerlo, vereis que el 1 lo podemos tambien expresar como               un radical pero eso no va a cambiar nada.
            
        d)
            

     El profesor de matemáticas también nos ha propuesto este ejercicio:
     
     ¿La respuesta a esta operación va a ser la raíz cuadrada de x?
      Entonces estamos dando por hecho que:
   
       
       Y esto no puede ser porque estamos poniendo como radicando un número que es irracional y no          es radical, porque un número irracional no puede ser radicando

lunes, 19 de octubre de 2015

CLASE 19 OCTUBRE

Hoy en clase hemos estado hablando de la relación entre la manera de sacar ternas pitagóricas y las identidades notables que son:



 

Y si lo restamos? nos da otra identidad notable que nos va a facilitar el camino para hallar ternas pitagóricas con el teorema de pitágoras:



Como queremos tener todas las partes elevadas al cuadrado, sustituimos m y n por m y n ambas elevadas al cuadrado en la anterior fórmula:



Que es lo mismo que poner:

   =====>        (T. Pitágoras)

PROPOSICIÓN:

Si tenemos      

 
     
                   ======>        (T. Pitágoras)




Observación: si m y n son iguales tiene una solución trivial, es decir, uno de los lados del triángulo nos quedaría nulo.
Ej:    m =1       x=0
         n=1         y=2
                        z=2
 Un triángulo no puede tener un lado 0 por eso se le llama solución trivial.

EJERCICIO:  Halla las ternas pitagóricas para estos casos:1) m=2 n=1 2) m=3 n=2 3) m=1 n=2

 m =2       x=3
 n=1         y=4
                 z=5

 m =3       x=5
 n=2         y=12
                z=13

 m =1       x=-3                Este es otro caso de terna pitagórica trivial porque no
 n=2         y=4                  existe ningún lado de triángulo negativo.
                 z=5


También hay otro método para hallar ternas pitagóricas y es multiplicando todos los componentes del teorema por el mismo número al que vamos a llamar k así obtenemos ternas pitagóricas infinitas.

PROPOSICIÓN MEJORADA:



           ========>      




sábado, 17 de octubre de 2015

DEBERES (BEYOND THE CLASSROOM)

Nuestro profesor de matemáticas nos ha pedido que comentemos este artículo de matemáticas, os dejo en enlace para que lo leíais.
El artículo comienza hablando de las diferentes "pruebas" que pueden ir haciendo aquellos que estén cursando una carrera de matemáticas y el contenido de la carrera en sí no les sea suficiente. También te habla de lo que es el CURM (Center for Undergraduated in Mathematics) que es una plataforma de apoyo en la que el profesor hace un grupo de entre 2 a 5 estudiantes para que hagan un trabajo en equipo a lo largo del curso y lo presenten en primavera en una especie de concurso cuyo grupo ganador gana unos 3000$ Nos cuenta la experiencia de Julio de la Cruz Natera un chico de Puerto Rico que junto a una serie de compañeros hicieron un trabajo sobre la solvencia de sistemas de ecuaciones polinómicas en campos finitos, él dice que habían muchos momentos en los que se perdía y al cabo de un tiempo con esfuerzo, paciencia, dedicación y un poco de ayuda de su profesor lo acababa entendiendo. Trabajando duro (unas 10 horas semanales) sacan una muy buena nota y se van a presentar este trabajo a el CURM en la Brigham Young University, nos cuenta que fue una gran experiencia y que es una muy buena oportunidad para aprender muchas cosas.

El enláce: http://www.jstor.org/stable/10.4169/mathhorizons.23.1.26?seq=1#page_scan_tab_contents

CLASE DEL 16 DE OCTUBRE

Ayer en clase de matemáticas estuvimos hablando del tema de los radicales (un tema muy importante en el ámbito de las matemáticas) y surgió esta pregunta:
¿Todo número radical es racional? Y la respuesta es que si por ejemplo:










Con estos 4 ejemplos si que llegamos a la conclusión de que todo número racional es radical.
¿Pero existe un número que no sea radical? la respuesta es que si y son  los números irracionales (el número pi, el número de oro etc.) entonces es cuando os debéis preguntar ¿Y si hacemos lo de arriba? ¿Y si lo ponemos como radicando? pues si lo podemos hacer:


Pero si hemos estudiado bien el tema de los números radicales habréis observado que el radicando SIEMPRE y lo escribo en mayúsculas tiene que y debe ser un número racional por lo que esta expresión no existe porque el radicando es un número irracional.



Os dejo en enlace para poder hacer estas ecuaciones en una pagina web directamente, solo teneis que copiar el código HTML y pegarlo en el apartado que pone HTML al lado de redactar, un saludo!!

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

jueves, 15 de octubre de 2015

CLASE DEL 15 DE OCTUBRE

Antes de empezar decir que ya iba siendo hora de que haga una entrada (con contenido interesante) en mi blog.

hoy en clase hemos estado hablando del binomio de newton y surge la típica pregunta: ¿qué es el binomio de newton? pues os puedo meter una chapa enorme sobre esta "expresión" de las matemáticas, el binomio de newton es la generalización de las identidades notables:
   
Llegamos a la formula general de que:

Entonces el binomio de newton es:     
.


Tambien hemos hablado de las ecuaciones y de lo que eran las ecuaciones diofánticas y son aquellas ecuaciones que se buscan (todas las ecuaciones en matemáticas tienen que tener un donde, para saber en que grupo de números se sitúan) en Z es decir en el grupo de los números enteros.

Hablando de estas ecuaciones nos viene a la cabeza (y sino yo os ayudo un poco) el Teorema de Pitágoras:

El profesor nos manda resolver esta ecuación, entonces hay que buscar 3 números con los que podamos resolver esta ecuación y son las llamadas ternas pitagóricas y uno de las ternas mas fáciles es la que contiene a los números 3,4 y 5 porque:

.
Luego hemos estado hablando de Fermat y Tartaglie (que es mas bien un apodo que un nombre, porque en italiano significa tartamudo) pero ahora no me da tiempo por lo que lo dejo para la siguiente entrada!!

Hasta la próxima