diario de César el mundo matemático de 1 bach: junio 2016

miércoles, 15 de junio de 2016

REPASO FINAL

A lo largo de esta semana (lo que queda) iré poniendo los ejercicios resueltos del examen para casa.
Este es el examen:

Aquí tenéis el examen, a lo largo de esta semana intentaré poner las soluciones.

martes, 7 de junio de 2016

TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES

Estos días en clase estamos dando de una manera un tanto rápida las integrales. Antes de esto pondré una tabla con las distintas derivadas que tenemos ya que va a ser muy útil de cara al examen de este jueves e incluso del jueves que viene.

La tabla será una imagen de internet la cual yo creo que es muy completa. Esta tabla también te muestra las derivadas de composiciones.

Pasamos a las integrales.

La integrales que vamos a estudiar este curso van a ser las integrales inmediatas y las casi inmediatas.

Una integral inmediata es aquella cuya función de la que parte es una de las derivadas de arriba (parte de la izquierda), es decir, son aquellas integrales que se van a dar al dar la vuelta a la derivada.

Una integral casi inmediata, es aquella cuya función va a tener un cambio de variable sencillo, usaremos la regla de la cadena en algunas ocasiones.

REGLA DEL CAMBIO DE VARIABLE:

$\int f(u(x))\cdot u'(x)dx$

Tenemos esta función, tipo integral y lo que vamos hacer es sustituir u(x) por t para transformar así la función casi inmediata en una inmediata.

$\int f(t)dt$

Ej: $\int \frac{sen \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Primero localizamos la u, en este caso $u(x)=\sqrt {x}$ ya tenemos la variable t, por lo que pasaría a ser:
$\int \frac{sen \sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\int sen(t)=-2 cos( t)$
Volvemos a hacer el cambio de variable y quedaría:
$-2 cos( t)=-2 cos(\sqrt{x})$

EJERCICIO EXAMEN PARA CASA:
$\begin{matrix} 1. \int -3x^2+4x-1 \\ 2.\int xe^x^^2\\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3.\int \frac{2x}{u^2+4x^2u+1}\\ 4.\int cos_g x \end{matrix}$

RESOLUCIÓN
$1. \int -3x^2+4x-1=-x^3+2x^2-x$
$2.\int xe^x^2=\int \frac{2xe^x^2}{2}=\int \frac{e^t}{2}=\frac{e^x^2}{2}+\mathbb{C}$
$3.\int \frac{2x}{u^2+4x^2u+1}=2\int \frac{x}{u^2+4x^2u+1}=2\int \frac{x}{t}=ln|t|=ln|u^2+4x^2u+1|$
$4.\int cos_g x=sen_gx+\mathbb{C}$

domingo, 5 de junio de 2016

CLASE 30-31 MAYO

En estas dos clases continuamos con las aplicaciones de las derivadas, en este caso dimos el estudio completo de una función.

Pasos:

1.- Dominio de f(x)

2.- Puntos de corte con los ejes:

- Corte con el eje y f(0)

- Ceros de f: f(x)=0

3.- Continuidad y asíntotas

- Verticales: $\lim_{x \to x_o}f(x)=+/- \infty$

- Horizontales: $\lim_{x \to +\infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

- Oblicuas: $\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}$

4.- Monotonía y extremos relativos --> signo y ceros de f '

5.- Convexidad y puntos de inflexión --> signo y ceros de f ''

6.- Gráfica

7.- (recorrido, inyectividad...)

Para hacer un ejemplo he decidido hacer la función del ejercicio 5 del examen para casa:

$f(x)=\frac{-2x|x|+2}{x}$

Como hay un valor absoluto, voy a romper la función en trozos:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{-2x+2}{x} si x>0\\ \frac{2x^2+2}{x} si x<0 \end{matrix}\right.$

1.- Dominio: R-{0}

2.- Cortes con los ejes:

-Ceros de la función: $\frac{-2x^2+2}{x}=0;-2x^2+2=0;x=\pm 1$

$\frac{2x^2+2}{x}=0;2x^2+2=0;x=\nexists$

- Corte con el eje y: NO TIENE, porque al sustituir el 0 se queda el 0 abajo.

3.- Continuidad y asíntotas:

- Verticales: $\lim_{x \to 0^-}\frac{2x^2+2}{x}=+\infty$
$\lim_{x \to 0^+}\frac{-2x^2+2}{x}=-\infty$
Hay una asíntota vertical en x=0
- Horizontales: $\lim_{x \to +\infty}\frac{-2x^2+2}{x}=-\infty$

$\lim_{x \to - \infty}\frac{2x^2+2}{x}=+\infty$
No hay asíntotas horizontales

- Oblicuas: $\lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{2x^2+2}{x}}{x}=2$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{-2x^2+2}{x}}{x}=-2$
Hay asíntotas oblícuas.
4.- Monotonía y extremos relativos (signo y ceros de f ')
$f'=\left\{\begin{matrix} \frac{-2x^2-2}{x^2}\\ \frac{2x^2-2}{x^2} \end{matrix}\right.$
$\frac{-2x^2-2}{x^2}=0;x=\nexists$

$\frac{2x^2-2}{x^2}=0;x=\pm 1$

En el -1 vamos a tener un max relativo y en el 1 un mínimo relativo

5.- Convexidad y puntos de inflexión (signo y ceros de f '')
$f''=\left\{\begin{matrix} \frac{-2x^2-4}{x^3}\\ \frac{2x^2-4}{x^3} \end{matrix}\right.$
$\frac{-2x^2-4}{x^3}=0;x=\nexists$
$\frac{2x^2-4}{x^3}=0;x=\pm \sqrt{2}$

Habrá un punto de inflexión en el -1,4142

Respecto a la gráfica tengo mis dudas... por lo que mañana preguntaré y pondré como queda representada. Si teneis alguna duda dejadla en los comentarios.