diario de César el mundo matemático de 1 bach: abril 2016

martes, 26 de abril de 2016

CLASE 25 ABRIL

Hoy en clase hemos continuado con el tema de las derivadas, comenzando con derivadas de funciones:
Partiendo de una $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ derivable.

Obtenemos una función derivada f de notación f '.

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$x\rightarrow f'(x)=f'(x)$ def: a cada x le vamos a asociar la derivada de ese punto.

Observación: ¿Relación de dominios?

El Dom de f '=Dom de f (si es derivable), Si no es derivable el dom de f ' es un subconjunto del Dom de f $Dom(f ')\subseteq Dom(f)$ .

Una vez visto este pequeño apartado de la derivabilidad de las funciones vamos a volver la derivabilidad en un punto:

Para ello nos vamos a fijar en la función afín y=ax+b $a,b \in \mathbb{R}$

tg $\alpha$ =a

$TVM [f,(x_1,x_2)]=\frac{f(x_2-f(x_1))}{x_2-x_1}=a$

Con esto sabemos que la derivada va a ser a, por lo que hemos encontrada la primera función derivada, la derivada de la afín es la función constante a.

Tenemos 2 funciones g y f que comienzan y acaban en el mismo lugar, entonces llegamos a la conclusión de que las TVM de ambas en un intervalo va a ser el mismo.

Interpretación geométrica

$TVM [g,(x_1,x_2)]$ la pendiente es la pendiente de la f. Al ser una función curva la TVM de la g va cambiando.

$TVM [g,(x_1,x_2)]$ será una recta secante que obtenemos desde x1, que acercándola a un x3 se hará cada vez más pequeña (concepto de derivada), cuando esa recta se acerca a x1 acabaremos obteniendo una recta tg que va a ser la derivada de la pendiente.

La interpretación geométrica de una función.

La derivada de un punto sería la pendiente de la recta tg.

Hay 3 casos en los que la derivada va a ser 0, los 2 primeros casos van a ser 2 parábolas pero el tercer caso es peculiar por lo que os pongo la gráfica:

La derivada de esta función en Xo es 0

Proposición: Si una función es derivable es continua.

lunes, 25 de abril de 2016

CLASE 22 ABRIL

Hoy en clase hemos terminado el tema de las funciones con una serie de ejercicios, vamos a comenzar recordando el teorema de limite de la composición de funciones:

Teorema del límite de la composición de funciones:

Si $\lim_{x\to x_o}f(x)=l$ y $\lim_{x\to l}g(x)=L$
$\lim_{x\to x_o}g(f(x))=L$
Ej:
$\lim_{x\to 0}(senx)^2=\lim_{x\to 0}sen^2x$ es una composición de las funciones f=sen x y $g=x^2$ .
El límite de esta función va a ser el límite de g(x) que en este caso es 0.

Ejercicios de comparación de funciones;

Potenciales*
Exponenciales**
Logarítmicas

Todos tienen infinitos en + $\infty$

*No todas las potenciales tienen infinitos en + $\infty$
**En + $\infty$ tienen un infinitísimo.

Comparación de 2 funciones potenciales $x^\alpha (\alpha >0)$ y $x^\beta(\beta >0)$ $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha }{x^\beta}=\frac{\infty}{\infty}\rightarrow \lim_{x\to+\infty} x^\alpha-^\beta=\begin{matrix} \alpha> \beta \rightarrow +\infty\\ \alpha =\beta\rightarrow 1\\ \alpha <\beta\rightarrow 0 \end{matrix}$

Comparación de 2 funciones exponenciales $a^x(a>1)$ y $b^x(b>1)$
$\lim_{x\to+\infty}\frac{a^x }{b^x}=\frac{\infty}{\infty}\rightarrow \lim_{x\to+\infty} (\frac{a}{b})^x=\begin{matrix} a>b \rightarrow 0\\ a=b\rightarrow 1\\ a<b\rightarrow +\infty \end{matrix}$

TEMA 13 DERIVADAS
Para hablar de derivadas necesitamos conocer los conceptos de límite (que ya conocemos) y de tasa de variación media
TVM(f,[Xo,X1])-->TVM (f,[Xo,Xo+h])
h=X1-Xo, X1=Xo+h

Tasa de variación instantánea (TVI) de (f,Xo)
$TVI=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$
$f'(x_o)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$

Si existe este valor f '(Xo) en R se dice que f es derivable en Xo. Con esto podemos decir que una función es derivable cuando es derivable en todos los puntos de su Dom.

PROPOSICIÓN:
f derivable en Xo si existen las derivadas laterales:
$x_o\Rightarrow f'_-(x_o)\Lambda f'_+(x_o)$

martes, 19 de abril de 2016

CLASE 19 ABRIL

Hoy en clase, aunque ya hayamos hecho el examen de funciones, hemos continuado con dos conceptos relacionados con los límites, infinitos e infinitésimos.

Una función se dice es infinita en un punto Xo (en el sentido amplio) cuando el límite de esa función en ese punto es + o - $\infty$ .

Ejemplos:

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}$ en este caso el 0 es un infinito.

$\lim_{x\to +\infty}x$ en este caso el + $\infty$ es un infinito.

$\lim_{x\to -\infty}-5x^3$ en este caso el - $\infty$ es un infinito.

Una función se dice infinitésima en un punto Xo (sentido amplio) cuando el límite de esa función en ese punto es 0.

Ejemplos:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}$ en este caso el + $\infty$ es un infinitésimo.

$\lim_{x\to 0}x^2$ en este caso el 0 es un infinitésimo.

COMPARACIÓN DE INFINITOS:

a) f y g infinitos en Xo

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty$ $\lim_{x\to x_0}g{\color{Red} }(x)=\pm \infty$

Solo usamos cocientes y restas entre funciones, sobre todo vamos a usar el cociente de funciones.

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\begin{matrix} \pm \infty\\ l\in \mathbb{R}\\ 0 \end{matrix}$

Si va a +/- $\infty$ se puede decir que "ha ganado" la f, es decir que la f llega antes a +/- $\infty$ que la g. Se dice que es de orden superior.

Si va a 0 se puede decir que "ha ganado"la g, es decir que la g llega antes a 0 que la f. Se dice que es de orden inferior

Si van a una cte se dice que son del mismo orden, si esa cte es 1 se dice que son equivalentes.

PROPOSICIÓN: si tenemos que calcular el límite de un producto o de un cociente (SOLO) si un factor es un infinito lo podemos sustituir por su infinito equivalente.

Ej:

$\lim_{x\to x_0}\frac{3x^2+2x-1}{-2x^3+4x^2-3x-1}=\lim_{x\to x_0}\frac{3x^2}{-2x^3}$

Como podemos observar hemos sustituido por el infinito equivalente en ambos casos.

b) f y g infinitésimos en Xo

$\lim_{x\to x_0}f(x)=0$ $\lim_{x\to x_0}g(x)=0$

Si va a +/- $\infty$ se puede decir que "ha ganado" la f, es decir que la f llega antes a +/- $\infty$ que la g. Se dice que es de orden superior.

Si va a una cte se dice que son del mismo orden, si esa cte es 1 se dice que son equivalentes.

Si va a 0 se puede decir que "ha ganado"la g, es decir que la g llega antes a 0 que la f. Se dice que es de orden inferior

PROPOSICIÓN: (es una proposición análoga a la anterior.) si tenemos que calcular el límite de un producto o de un cociente (SOLO) si un factor es un infinitésimo lo podemos sustituir por su infinitésimo equivalente.

Ej:

$\lim_{x\to x_0}\frac{sen^2x}{2x^2}=\lim_{x\to x_0}\frac{senx}{2x}$

Como vemos, he sustituido por su infinitésimo equivalente ya que no podemos operar dentro del propio límite. sabiendo que $sen(x)\sim x$ en x=0

lunes, 18 de abril de 2016

ACT COMPLEMENTARIA (2)

Continuando con mi anterior entrada aquí os voy a poner una serie de definiciones operativas de los límites funcionales:

1.- Caso finito finito(1) $x_o\in \mathbb{R},l \in \mathbb{R}$

$\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/f((x_0-\delta ,x_o+\delta )-\left \{ x_o\right \}) \subseteq (l-\varepsilon ,l+\varepsilon )$

$\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/si0<|x-x_o|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$

2.- Caso infinito finito(1) $x_o\in \mathbb{R},l +\infty$

$\forall k > 0\exists \delta > 0/f((x_0-\delta ,x_o+\delta )-\left \{ x_o\right \}) \subseteq (k,+\infty)$

$\forall g > 0\exists \delta > 0/si0<|x-x_o|<\delta \Rightarrow f(x)>k$

3.- Caso infinito finito(2) $x_o\in \mathbb{R},l -\infty$

$\forall g > 0\exists \delta > 0/f((x_0-\delta ,x_o+\delta )-\left \{ x_o\right \}) \subseteq (-\infty,g)$

$\forall g > 0\exists \delta > 0/si0<|x-x_o|<\delta \Rightarrow f(x)<g$

4.- Caso infinito finito (3) $x_o+\infty,l \in \mathbb{R}$

$\forall \varepsilon > 0\exists k <+\infty/f((k,+\infty )) \subseteq (l-\varepsilon ,l+\varepsilon )$

$\forall \varepsilon > 0\exists k >+\infty/si0<k<+\infty \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

5.- Caso infinito infinito(1) $x_o+\infty,l +\infty$

$\forall k > 0\exists g <+\infty/f((g,+\infty )) \subseteq (k,+\infty )$

$\forall k> 0\exists g<+\infty/si 0<g<+\infty\Rightarrow f(x)<k$

6.- Caso infinito infinito(2) $x_o+\infty,l -\infty$

$\forall g > 0\exists k <+\infty/f((k,+\infty )) \subseteq (g,+\infty )$

$\forall g> 0\exists k<+\infty/si 0<k<+\infty\Rightarrow f(x)>g$

7.- Caso infinito finito(4) $x_o-\infty,l\in \mathbb{R}$

$\forall \varepsilon > 0\exists g >-\infty/f((-\infty,g )) \subseteq (l-\varepsilon ,l+\varepsilon )$

$\forall \varepsilon > 0\exists g>-\infty/g>-\infty \Rightarrow |f(x)-l|>\varepsilon$

8.- Caso infinito infinito(3) $x_o-\infty,l+\infty$

$\forall k > 0\exists g >-\infty/f((-\infty,g )) \subseteq (k ,+\infty )$

$\forall k> 0\exists g>-\infty/g>-\infty \Rightarrow k>f(x)$

9.- Caso infinito finito (2) $x_o-\infty,l-\infty$

$\forall g > 0\exists k >-\infty/f((-\infty,k )) \subseteq (-\infty,g )$

$\forall g> 0\exists k>-\infty/k>-\infty \Rightarrow g<f(x)$

Si encontráis algún fallo o tenéis alguna duda abajo podéis decirmelo y no tardaré en responderos