EJERCICIOS EXAMEN.

El día 26 de Noviembre tuvimos el examen trimestral grupal, mi opinión sobre este examen es realmente positiva ya que me parece una muy buena manera de fortalecer el trabajo en equipo (del cual hablaré en mi próxima entrada haciendo una reflexión). Tras ese examen nuestro profesor nos asignó 2 ejercicios para hacer bien y tener perfectamente hechos en mi caso son el 7 y el 33, yo subiré esos 2 y alguno más que me ha llamado la atención.

EJ 7 EXAMEN: ¿TODO NÚMERO RADICAL ES ALGEBRAICO? DEMUESTRA

Si, todo número racional es algebraico ya que toda fracción a/b es solución de la ecuación bx-a=0 siempre a y b pertenezcan a Z.
Ejemplo: 3x-4=0 ; 3x=4; x=4/3   (a=4, b=3)

EJ 33 EXAMEN: RESUELVE 

Primero observamos el polinomio, al ser de grado 3 sabemos que tiene 3 soluciones:
Usamos ruffini:
             
                /    16                   -12                 -5                       1                          
                /
                /
              1/                            16                   4                      -1   
                      16                    4                   -1                       0  
Una vez que ya sabemos la primera raíz (1) resolvemos la ecuación resultante mediante la fórmula:      

x1=1     x2=    x3=
Haciendo la prueba del resto para comprobar si son soluciones he observado que si, si que lo son.
P(1)= 16 x 1 - 12 x 1 -5 x 1 + 1= 0
P(-0.4045)= 
P(0.1545)= 

EJ 39 EXAMEN:.- Dibuja la solución del sistema de ecuaciones 
Para hallar la solución de este sistema y dibujarlo, se basa sobretodo en dar valores a una de las incógnitas para hallar los valores de la otra.
5x-5y=5
x=0    y=-1
x=1    y=0
x=-1   y=-2

0x+0y=0
x=0    y=0
x=1    y=0
x=-1   y=0

Ahora la gráfica con ambas rectas

La solución de este problema es el punto que tiene ambas rectas en común: que en la representación es el punto C: x=1 y=0 S=(1,0)

EJ 21 EXAMEN: ¿ES DIVISIBLE  entre x+11

 

Para saber si es divisible intentamos resolverlo mediante ruffini.

 

                /    1             4             -81               -16          308                    
                /
                /
          -11/                 -11             77                  44        -198
                      1           -7              -4                 18          110 

No es divisible entre x+11 ya que el resto haciendo ruffini es 110 y no 0

EJ 10 EXAMEN: PON 3 EJEMPLOS DE NÚMEROS TRASCENDENTES
Primero voy a poner la definición de número trascendente: un número trascendente es aquel número irracional que no puede ser raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros, por lo que un número trascendente no puede ser un número algebraico. Ejemplos: en clase hablamos del número pi y el número e, he buscado en internet un tercero ya que no me suena haber visto otro en clase: ln(a) siempre que a sea positivo, racional y diferente de 1 (logaritmo natural)

CLASE 24 NOVIEMBRE

Hoy en clase hemos estado hablando de la resolución de problemas con inecuaciones y sistemas y para ello se necesitan estos pasos teóricos: (inecuaciones)

1. Comprender el problema tras una o varias lecturas
2. Elegir la o las incógnitas
3. Escribir las inecuaciones
4. Resolver las inecuaciones
5. Resolver el problema atendiendo a lo que nos piden
6. Comprobación de las soluciones

Ejemplo:

 

Una vez que tenemos que x > 29000 observamos que para tener un sueldo superior a 1350$ debe vender ropa por un importe superior a 29000$.

CLASE 23 NOVIEMBRE

Lo primero quería decir que no me gustan mis dos anteriores entradas porque el hacerlo mediante imágenes no me gusta, este fin de semana las repito.
Hoy en clase hemos estado hablando de las inecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que puede ser:
1)ax+by > c
2)ax+by < c
3)
4)
Para llegar a la resolución de esta clase de inecuaciones representamos gráficamente la función afín o lineal ax+by=c asociada a la inecuación y obtenemos la recta, esta recta divide el plano en 2 partes y observamos de que parte está hablando la inecuación.
Ej: estudia si estos puntos pertenecen a la recta A(2,-2) B(4,3) C(0,0) 3x-2y > 6
Sustituimos y observamos que A pertenece 10>6  B no pertenece 6 > 6  C no pertenece 0 > 6

cogeríamos la parte de la derecha ya que te dice que tiene que ser mayor que 6

Luego estuvimos viendo los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y el metodo de resolución es el mismo solo que en vez de una recta estamos hablando de un conjunto de las mismas.

CLASE 20 NOVIEMBRE

Hoy en clase hemos estado viendo las inecuaciones, hemos visto:
- Inecuaciones de 1 grado
- Sistemas de inecuaciones con 1 incógnita
- Inecuaciones polinómicas de grado 2
- Inecuaciones irracionales.

CLASE 19 NOVIEMBRE

Hoy en clase hemos estado hablando de las ecuaciones logarítmicas y de los sistemas de ecuaciones, pondré fotos que aunque no es lo que más me guste no me queda otra porque lo tengo que hacer desde el teléfono.

CLASE 17 NOVIEMBRE

Hoy en clase hemos estado hablando de los logaritmos, (Antes de nada voy a probar a poner una foto en la que se entienda todo bien y a ver que tal)
Logaritmos con base positiva:

Logaritmo decimal o con base 10:

Logaritmo neperiano o natural:

Cambios de base:

Propiedades de los logaritmos:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

CLASE 16 NOVIEMBRE

Hoy en clase hemos hecho varias cosas: la 1 hemos hecho 2 observaciones sobre la anterior entrada sobre todo en los puntos 2 y 5
2b.- Porque le llamamos 2b, le llamamos 2 b porque también se puede sumar cuando quieres "despejar" Ejemplo: 

5.- Explicación: 0x+0y=0
 La solución es un conjunto de parejas reales.
Aparte de este método hay otros métodos de eliminación. Como eliminar una ecación que sea:
    a) igual a otra
    b) proporcional a otra
    c) sea una combinación lineal de otra

Luego hemos estado hablando de ecuaciones exponenciales por ejemplo:  Tenemos 2 maneras de resolver estas ecuaciones:
1.- 
2.-  cambiamos variable por t
Otro ejemplo:
 hacemos cambio de variable: y nos sale que z=3 y z=1/3 por lo que x=1 y x=2.
Nuestro profesor tambien nos ha hablado de Gauss pero no me da tiempo a ponerlo asi que lo pongo mañana.

CLASE 13 NOVIEMBRE

Antes de todo siento no haber publicado nada durante este fin de semana, no me ha dado tiempo...
El otro día en clase hablamos de la proposición de la entrada anterior que hacia referencia a   sacamos la proposición: transformaciones elementales sobre una ecuación como sumar un número a ambos miembros de una ecuación, ecuaciones equivalentes o multiplicar un número a ambos miembros de una ecuación .
Resolver:
E1=x+y-5=0       } sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
E2=2x+3y-13=0 }
Para ello usamos las transformaciones elementales que son:
1.- intercambiar 2 Ei<---> Ej (i no sea 0)  E1<--->E2    2x+3y-13=0 }    
                                                                                            x+y-5=0 }                              
2.- sustituir una ecuación por ella misma multiplicada por un número que no sea 0 Ei<---> &Ei
      &= número R. siempre obtenemos una ecuación euivalente.
3.- sustituir una ecuación por ella misma más un escalar·E  Ei<--->Ei+&Ej   (i no puede ser j)
4.- si una incógnita esta "despejada" usamos el método de sustitución que ya deberíamos saber.
5.- eliminar una ecuación de coeficientes 0.

3.- E2<---> E2-2E1 ; (2x+3y-13) -2x-3y+5=0; 8=0 que no existe.
4.- método de sustitución: pues si tenemos x+y-5=0 x=-y+5 y lo ponemos en la 2 ecuación:
2(-y+5)+3y-13=0; -2y+10+3y-13=0; y-3=0; y=3 ahora que sabemos el valor de y vamos a la fórmula de antes x=-y+5; x=-3+5; x=2

CLASE 12 NOVIEMBRE.

Hoy en clase hemos terminado de hablar de las ecuaciones de 2 grado con las fórmulas de Cardano  y terminado con el tema de las ecuaciones polinómicas:

 x1=

x2=

 

Entonces si sumamos x1+x2= -b/a

Y si hacemos el producto x1·x2=(suma por diferencia=producto de cuadrados)=c/a

Ahora con estas dos fórmulas podemos hacer cosas como esta:

EJ: hallar un polinomio de 2 grado con raíces 2 y 3.

usamos la fórmula de la entrada anterior:  y llegamos a la conclusión de que podemos sustituir las fórmulas anteriores en este polinomio:   ahora ya calculamos usando las F. de Cardano: .

Ecuaciones polinómicas de grado > 2: 

Sabemos hacer diferentes tipos pero muy específicos como pueden ser las bicuadradas o las que sean incompletas del estilo:  y asi nos quedaria una ecuacion factorizada porque siempre hay un 0.

Tambien hemos hablado de las Ecuaciones irracionales que son aquellas que tienen un "número racional''. 

Ejemplo:  

Sistemas de ecuaciones: 

2x+1=0}------>x=-1/2 

x-3=0   }------>x=3

Son ecuaciones con 1 incognita que no tienen solucion para ambas en conjunto ya que no existe la interjección de {-1/2} y {3}

2x+3y=5 sistema de ecuaciones con 2 incognitas, y pensamos en las soluciones.......... 

si x=1 y=1, si x=4 y=-1 si x=5/2 y=0 este conjunto de soluciones se llama soluciones particulares y nosotros queremos saber la solución general: y llegamos a la conclusión de que si nosotros le damos valores a cualquiera de las 2 incognitas hallamos el valor de la otra. Asique en este caso: 

Ejercicio: dibujar S en un plano: hallamos 2 puntos y hacemos la recta: x=1 y=1, si x=2,5 y=0

CLASE 10 NOVIEMBRE

Hoy hemos estado hablando de las ecuaciones polinómicas de las cuales hice ayer un pequeño adelanto.
1) E.P grado 1: ax+b=0 tenemos dos maneras de resolverlo:
             1) si a no es igual a 0 el resultado es x=-b/a
             2) pero si a=0 el resultado cambia, todo depende del comportamiento que tenga b porque si b=0 la solución es cualquier número real (R) pero si b no es cero la ec. no tiene solución.

2) EC. Equivalentes: observación: usamos el término en plural cuando no deberiamos, lo usamos solo porque hay una relación simétrica en este caso entre dos polinomios, por eso decimos que son equivalentes.
Partimos de estas dos proposiciones de ayer:
 1)a=b  a+c=b+c
2)a+b => ac=bc siempre que c no sea igual a 0

ejemplo: x=2     (·2)     2x=4 (ambas son equivalentes)

pero: si (·0) 0x=0 ya seria el caso de antes por lo que no es equivalente.

Resolver:   multiplicamos ambos por (xª2-1 siempre que no sea 0)  no tiene solución aplicando la fórmula.

Resolver:  multiplicamos ambos por  (xª2-1) y llegamos al resultado 0x=0 por lo que x= R salvo el mas y menos 1 porque quedaría una indeterminación como resultado, x+3/0 por lo que x=R{-1,+1}

3) E.P grado 2: corresponde con la fórmula  (a no sea 0) ahora te explico de donde sale la famosa "operación" que hacemos con las ecuaciones de 2 grado: dividimos entre a y nos quedaría algo tal que así: , ahora vamos a usar una técnica típica de las funciones que se llama la técnica de completar cuadrados (intentar verlo todo como un cuadrado:








Ayer escribí las proposiciones:
1)a=b  a+c=b+c
2)a+b => ac=bc

Y hoy os voy a poner la prop contrarrecíproca y si no nos especifica nada no, porque os pongo un contraejemplo 8·0=3·0 no es igual 8=3

Entonces a+b => ac=bc (si c no es igual a 0) demostración: dividimos entre 1/c y nos  da a=b