CLASE 25 ABRIL

Hoy en clase hemos continuado con el tema de las derivadas, comenzando con derivadas de funciones:
Partiendo de una   derivable.

Obtenemos una función derivada f de notación f '. 

     def: a cada x le vamos a asociar la derivada de ese punto.

Observación: ¿Relación de dominios?

El Dom de f '=Dom de f    (si es derivable), Si no es derivable el dom de f ' es un subconjunto del Dom de f  .

Una vez visto este pequeño apartado de la derivabilidad de las funciones vamos a volver  la derivabilidad en un punto:

Para ello nos vamos a fijar en la función afín y=ax+b  

tg=a 

 

Con esto sabemos que la derivada va a ser a, por lo que hemos encontrada la primera función derivada, la derivada de la afín es la función constante a.

Tenemos 2 funciones g y f que comienzan y acaban en el mismo lugar, entonces llegamos a la conclusión de que las TVM de ambas en un intervalo va a ser el mismo.

Interpretación geométrica

  la pendiente es la pendiente de la f. Al ser una función curva la TVM de la g va cambiando.

 será una recta secante que obtenemos desde x1, que acercándola a un x3 se hará cada vez más pequeña (concepto de derivada), cuando esa recta se acerca a x1 acabaremos obteniendo una recta tg que va a ser la derivada de la pendiente.

La interpretación geométrica de una función.

La derivada de un punto sería la pendiente de la recta tg. 

Hay 3 casos en los que la derivada va a ser 0, los 2 primeros casos van a ser 2 parábolas pero el tercer caso es peculiar por lo que os pongo la gráfica:

La derivada de esta función en Xo es 0

Proposición: Si una función es derivable es continua.

CLASE 22 ABRIL

Hoy en clase hemos terminado el tema de las funciones con una serie de ejercicios, vamos a comenzar recordando el teorema de limite de la composición de funciones:

Teorema del límite de la composición de funciones:

Si       y   
                    
Ej:
   es una composición de las funciones f=sen x y .
El límite de esta función va a ser el límite de g(x) que en este caso es 0.

Ejercicios de comparación de funciones;

• Potenciales*
• Exponenciales**
• Logarítmicas

Todos tienen infinitos en +

*No todas las potenciales tienen infinitos en +
**En + tienen un infinitísimo.

Comparación de 2 funciones potenciales   y  

Comparación de 2 funciones exponenciales    y   




TEMA 13 DERIVADAS
Para hablar de derivadas necesitamos conocer los conceptos de límite (que ya conocemos) y de tasa de variación media
TVM(f,[Xo,X1])-->TVM (f,[Xo,Xo+h])
h=X1-Xo, X1=Xo+h

Tasa de variación instantánea (TVI) de (f,Xo)

Si existe este valor f '(Xo) en R se dice que f es derivable en Xo. Con esto podemos decir que una función es derivable cuando es derivable en todos los puntos de su Dom.

PROPOSICIÓN:
f derivable en Xo si existen las derivadas laterales:

CLASE 19 ABRIL

Hoy en clase, aunque ya hayamos hecho el examen de funciones, hemos continuado con dos conceptos relacionados con los límites, infinitos e infinitésimos.

Una función se dice es infinita en un punto Xo (en el sentido amplio) cuando el límite de esa función en ese punto es + o - .

Ejemplos:

        en este caso el 0 es un infinito.

       en este caso el + es un infinito.

    en este caso el - es un infinito.

Una función se dice infinitésima en un punto Xo (sentido amplio) cuando el límite de esa función en ese punto es 0.

Ejemplos:

       en este caso el + es un infinitésimo.

          en este caso el 0 es un infinitésimo.

COMPARACIÓN DE INFINITOS:

a)                           f y g infinitos en Xo 

            

Solo usamos cocientes y restas entre funciones, sobre todo vamos a usar el cociente de funciones.

Si va a +/-  se puede decir que "ha ganado" la f, es decir que la f llega antes a +/-  que la g. Se dice que es de orden superior.

Si va a 0 se puede decir que "ha ganado"la g, es decir que la g llega antes a 0 que la f. Se dice que es de orden inferior

Si van a una cte se dice que son del mismo orden, si esa cte es 1 se dice que son equivalentes.

PROPOSICIÓN: si tenemos que calcular el límite de un producto o de un cociente (SOLO) si un factor es un infinito lo podemos sustituir por su infinito equivalente.

Ej:

Como podemos observar hemos sustituido por el infinito equivalente en ambos casos.

b)                           f y g infinitésimos en Xo 

                  

Si va a +/-  se puede decir que "ha ganado" la f, es decir que la f llega antes a +/-  que la g. Se dice que es de orden superior.

Si va a una cte se dice que son del mismo orden, si esa cte es 1 se dice que son equivalentes.

Si va a 0 se puede decir que "ha ganado"la g, es decir que la g llega antes a 0 que la f. Se dice que es de orden inferior

PROPOSICIÓN: (es una proposición análoga a la anterior.) si tenemos que calcular el límite de un producto o de un cociente (SOLO) si un factor es un infinitésimo lo podemos sustituir por su infinitésimo equivalente.

Ej:

  

Como vemos, he sustituido por su infinitésimo equivalente ya que no podemos operar dentro del propio límite. sabiendo que  en x=0