CLASE 24 MAYO

Hoy en clase continuando el tema de las asociaciones de derivadas hemos aprendido el método para hallar la convexidad de una función. 

Convexidad de una función:

U=> convexa hacia arriba

=> convexa hacia abajo

Ej: de cóncava o convexa hacia arriba 

Ej: de convexa hacia abajo.

Definición (geométrica): f se dice convexa hacia arriba en su dominio (puede ser también en un intervalo y en un punto) si la región superior determinada por su gráfica es convexa*.

*¿Qué es región plana convexa? con la definición de región plana, se dice que es convexa, cuando el segmento que une a dos puntos cualesquiera de dicha región este dentro de la misma. 

Ejercicio: determinar cuales de las siguientes regiones son convexas:

Son convexas la 1,2,4,6. La 3 y 5 no porque como podemos observar podemos hacer un segmento que no esté en la región.

Propiedad: cuando f es convexa hacia arriba o hacia abajo las rectas tangentes van a estar por fuera. 

Convexidad de la función afín:

Es convexa hacia arriba y hacia abajo.

Convexidad función: y= 

No es convexa en su totalidad, es convexa hacia arriba en el intervalo de [0,+∞] y convexa hacia abajo en el intervalo  [-∞ ,0]

Observamos que en el 0 hay un punto de inflexión ya que hay un cambio de convexidad. 

Proposición:  Una función f es convexa hacia arriba <=> f ' es creciente 

                      Una función f es convexa hacia abajo <=> f ' es decreciente 

                      

¿Un punto que es P.I de f <=>f ''=0?

De estas es cierta solo 1, es cierta => ya que siempre que f es un punto de inflexión la f ''=0

Ponemos un contraejemplo para ver que <= es falsa:

Cuando y=x y'=1 y''=0. esta derivada segunda será 0 en todo su dominio, y como se podrá entender no hay puntos de inflexión en todo su dominio.